16/11/10

Derivadas de funciones trigonométricas



{d \over dx}\,\operatorname{sen}\,x = \cos x
{d \over dx} \cos x = -\operatorname{sen}\,x
{d \over dx} \tan x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1+ \tan^2x
{d \over dx} \sec x = \sec x \tan x
{d \over dx} \csc x = -\csc x \cot x
{d \over dx} \cot x = -\csc^2 x = { -1 \over \operatorname{sen}^2\,x}

{d \over dx}\,\operatorname{arcsen}\,x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
{d \over dx} \arctan x = { 1 \over 1 + x^2}
{d \over dx} \arcsec x = { 1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \arccsc x = {-1 \over x\sqrt{x^2 - 1}}
{d \over dx} \arccot x = {-1 \over 1 + x^2}

La derivación de las funciones trigonométricas es el
proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función.

Derivada de la función seno 

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}
Por tanto si f(x) = sin(x)
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Reordenando los términos y el límite se obtiene
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
El valor de los límites
\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}
f'(x)=\cos(x) \,

Derivada de la función coseno 

Si f(x) = cos(x)
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}
A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}
Operando se obtiene
f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}
El valor de los límites
\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}
Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
f'(x)=-\sin(x) \,

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como
f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}
y h(x) \ne 0\, , entonces la regla dice que la derivada de g(x)/h(x)\, es igual a:
\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}
A partir de la identidad trigonométrica
\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}
haciendo:
g(x)=\sin(x) \,
g'(x)=\cos(x) \,
h(x)=\cos(x) \,
h'(x)=-\sin(x) \,
sustituyendo resulta
f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}
operando
f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
y aplicando las identidades trigonométricas
\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \,
\sec^2(x)=\frac{1}{cos^2(x)}\,
resulta
f'(x)=\sec^2(x) \,
Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función \,y=\arcsin x, que también se puede expresar como . Derivando implícitamente la segunda expresión:
\,\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}\,
Tenemos además que \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}\,, i que \,x=\sin y . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:
\,\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

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