Historia de las matemáticas IV (Hacía el infinito y más allá)

En mayo de 1831 asistimos al descubrimiento y pérdida de un genio matemático: antes de morir en un duelo combatiendo por su amante, Evariste Galois había trazado un teorema que con el tiempo despejaría los misterios de la simetría. En Rusia, George Cantor descubrió no sólo que el infinito existe, sino que llegó a demostrar que hay dos tipos de infinito. El ordenador revolucionó las matemáticas al permitir realizar cálculos a una velocidad de vértigo ayudando a los matemáticos a "contemplar" el caos, pero los resultados sin comprender sus procesos siguieron desconcertando a los matemáticos. Muchos sostienen que el placer de las matemáticas se encuentra en la comprensión del problema, no sólo en su correcta solución. En 1900, el matemático francés David Hilbert enumeró los principales misterios matemáticos sin resolver, trazando así el camino que seguirían las matemáticas durante el siglo XX. 15 de estos 23 problemas ya han sido resueltos parcial o totalmente, aún se sigue trabajando en el resto...



Parte 3

Historia de las matemáticas III (Las fronteras del espacio)

En el siglo XVI, los problemas matemáticos se convirtieron en un espectáculo de masas con grandes premios para los ganadores. En este ambiente tan competitivo, no es de extrañar que los matemáticos guardaran celosamente sus conocimientos y que, en algunos casos, se portaran muy mal. Girolamo Cardano parecía haber resuelto una ecuación cúbica, pero había robado la solución de un matemático rival, Nicolo Tartaglia. Francia comenzó a retar el dominio italiano sobre las matemáticas con Rene Descartes, que unificó el álgebra y la geometría, un paso decisivo que cambiaría el curso de esta disciplina para siempre. Le siguió el prodigioso matemático Pascal, quien con tan sólo 12 años, logró demostrar que los ángulos de un triangulo suman dos ángulos rectos. Más tarde el mismo Pascal inventaría una calculadora mecánica y demostró la existencia del vacío. En Inglaterra, Isaac Newton desarrolló una formula capaz de explicar las órbitas de los planetas, aunque pasaría el resto de su vida embrollado en una disputa con un matemático alemán sobre quién lo había desarrollado primero...

Parte 2                                                             Parte 4

..........Geometría.........

Introducción

1. Reseña histórica.
2. Geometría
3. Euclides
4. Los Elementos de Euclides
5. Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas
6. Geometría de Lobatchevsky
7. El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky
8. Conclusión
9. Anexos
10. Bibliografía

Bibliografía ................(Geometría)

• Dowmns, Moise. Geometría Moderna. Addison-Wesley Iberoamericana
• Wentworth, J., Smith, D. E. Geometría Plana y del Espacio. Editorial Porrúa
• Landaverde, J. Curso de Geometría. Editorial Progreso.
• Thompson, A. Geometría al alcance de todos. Editorial UTHEA.

• Fetisov, A. I. Acerca de  la demostración. Editorial MIR.

• Piaget, J., Inhelder, B. and Szeminska, A. The Child's conception of geometry. Prentice Hall.

• http://es.geocities.com/eucliteam/ fecha(13/08/04)

• http://centros5.pntic.mec.es/ies.ortega.y.rubio/Mathis/Euclides/euclides.htm fecha(13/08/04)
• http://www.terra.es/personal/jftjft/Historia/Biografias/Euclides.htm fecha(13/08/04)
• http://euler.ciens.ucv.ve/matematicos/euclides.html fecha(13/08/04)
• http://www.arrakis.es/~mcj/euclides.htm fecha(13/08/04)
• http://www.xtec.es/~jdomen28/indiceeuclides.htm fecha(13/08/04)
• http://www.oya-es.net/reportajes/euclides.htm fecha(13/08/04)
• http://www.mat.usach.cl/histmat/html/alexandr.html fecha(13/08/04)
• http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htm fecha(13/08/04)
• http://mural.uv.es/beaco/tr4.htm fecha(11/09/04)
• http://www.domos.cl/geomatem.htm fecha(11/09/04)
• http://mural.uv.es/beaco/tr2.htm fecha(11/09/04)
• http://mural.uv.es/beaco/tr1.htm fecha(11/09/04)

[1] Ver Anexos

[2] Ver Anexos

[3] Ver Anexos

Anexos ....................(Geometría)

GAUSS, Carl F. (1777-1855): Matemático alemán nacido en Brunswick y fallecido en Gotinga. Gauss fue un niño prodigio en matemáticas y continuó siéndolo toda su vida. Hay quien le considera uno de los tres mayores matemáticos de la historia junto a Arquímedes y Newton. Su inteligencia superdotada llamó la atención del duque de Brunswick, quien decidió costearle todos sus estudios, entrando en 1795 en la universidad de Gotinga. Antes de cumplir los veinte años hizo algunos descubrimientos importantes, entre los que se incluye el método de los mínimos cuadrados. Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que sólo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás. Hizo una labor importante en la Teoría de Números. También construyó una geometría no euclídea, basada en axiomas distintos a los de Euclides, pero se negó a publicarla. Lovachevski y Bolyai ostentan el honor de su descubrimiento al publicarla algo más tarde. En 1799 Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra. También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano. El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética. Se levantó una estatua en su honor en su ciudad natal, que descansa sobre un pedestal en forma de estrella de 17 puntas, en celebración de su descubrimiento de la construcción del polígono de 17 lados. Le llamaban Príncipe de las Matemáticas.

BOLYAI, Janos (1802-1860): Matemático húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en Marosvásárheli, ambas en Hungría. Su padre había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825 ponía en práctica los mismos proyectos que Lovachevski sobre la geometría no euclideana, publicando en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre matemáticas. En él explicó su geometría, que Lovachevski había publicado tres años antes.

SACCHERI, Giovanni Girolamo (1667-1733): Nació y murió en San Remo, Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden de los Jesuitas en 1865. Cinco años después marchó a Milán, donde estudió filosofía y teología en el Colegio Jesuita. Allí, Tommaso Ceva le animó a estudiar matemáticas. En 1694 fue ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en colegios jesuitas. Fue catedrático de matemáticas en Pavia desde 1699 hasta su muerte

Esquema de la evolución de la Geometría no Euclidianas

Conclusión ..............(Geometría)

Gracias a la realización de este trabajo pudimos comprender un poco mejor lo que es la geometría Euclídea; las repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo antiguo.

Además de conocer las diferencias que existen entre los distintos tipos de geometría, y de los pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las diversas formas de pensamiento de la mente humana.

El estudio formal de la geometría euclidiana y de las demás geometrías nos permite organizarlas de forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras conceptuales, facilitando así su estudio futuro.

El estudio de los Elementos de Euclides es muy importante ya que es la recopilación de todos sus pensamientos e ideales, además de contar con todos sus axiomas, postulados y teoremas, los cuales son de gran utilidad para entender y poder aplicar su concepto de geometría.

Estructura conceptual de la Geometría.

El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky

Eugenio Beltrami

Biografía

  En 1868 el italiano Eugenio Beltrami publicó Ensayo sobre la interpretación de la Geometría no euclídea, que proporcionó un modelo para la geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometría euclídea 3-dimensional.

Fotografía de Beltrami

Obra

Consideró una curva llamada tractriz (ver FIGURA 5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una asíntota. Al girar la curva alrededor de su asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera, representada en la parte derecha de la FIGURA 5.

FIGURA 5: Tractriz y seudoesfera

Beltrami hizo notar que la geometría intrínseca de la seudoesfera coincide con la geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto significado real: no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.

         Pero, como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo estableció una correspondencia entre la seudoesfera y parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar

Geometría de Lobatchevsky

Biografía

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre los fundamentos de la geometría en el año 1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai, se ignoró hasta aproximadamente 30 años después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en 1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se verificaban parte de las propiedades de la geometría de Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la euclídea.

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Lobatchevsky, como la mayoría de sus contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta geometría, al puro estilo de Saccheri.

         La esencia de la solución de este problema la expuso él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría (1835): "Es bien sabido que, en geometría, la teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes físicas, solamente pueden ser verificados mediante experimentos, tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin de la verdad de mi conjetura y considerando que este difícil problema está completamente resuelto, expuse mis argumentos en 1826".

         Comenzó sus investigaciones suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una, sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y desarrolló una geometría totalmente concebible que no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado como sigue: “El postulado no puede ser probado”.

Obra

Añadiendo a las proposiciones básicas de la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad de los resultados de cualquier geometría lógicamente concebible debe ser desarrollada no sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como una teoría que abra nuevos caminos y métodos para las teorías físicas.

         Uno de los resultados más sorprendentes es el siguiente:

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y q que forman la frontera entre las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas las rectas paralelas. El ángulo π (a) se llama ángulo de paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas que pasan por C.

         También llegó a establecer la trigonometría no euclidiana, resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Mostró identidades trigonométricas para triángulos que se mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida que el triángulo se hacía más pequeño las identidades tendían hacia las identidades trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no sólo construyó una geometría plena sino que redujo a la geometría euclídea a un caso límite y, por tanto, particular.

         Todo el trabajo de Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible, no se podía aplicar al mundo físico, por lo que esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y deducción matemática sin ninguna trascendencia ni real ni social.

Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas

En 1697 el italiano Giolamo Saccheri[2] abrió un gran campo de posibilidades para la resolución del problema sobre el quinto postulado. Se podría decir que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de su trabajo radica en la suposición de que el quinto postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una contradicción.

FIGURA 1: El Cuadrilátero de Saccheri

  Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el ángulo ADC es igual al ángulo BCD. Se hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos? Supuso que no:

Hipótesis del ángulo obtuso: ADC y BCD son mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).

Hipótesis del ángulo agudo: ADC y BCD son menores que un recto (menores que 90º).

         De la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo deducir que ADC y BCD son

Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.

Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto a Euclides si no hay una manera más simple de aprender Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor respondió " No existe un camino real hacia la Geometría".

Al comienzo de cada uno de los libros que componen los Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones Comunes relativas a los temas desarrollados.

Tomos de los Elementos

• El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y ángulos de los triángulos.
• El II desarrolla el álgebra geométrica.
• El III estudia las propiedades del círculo y de la circunferencia.
• El IV los polígonos inscritos y circunscritos.
• El V la teoría de las proporciones de Eudoxio.
• En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y X están dedicados a la aritmética.
• El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros, etc.
• El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio a diversos problemas geométricos, como la equivalencia de pirámides y la semejanza de conos y cilindros.
• El XIII estudia los poliedros regulares.

La obra de Euclides no es totalmente original, pues muchos de sus libros están basados en geómetras anteriores. Sin embargo, sistematizó todos los conocimientos de su época, ordenó las enseñanzas a su manera y demostró los teoremas requeridos por su nueva ordenación lógica, basada en el método axiomático; todo se deduce a partir de cinco axiomas y cinco postulados, cuya verdad se considera evidente.  

Los axiomas son:

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
• Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales.
• Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales.
• Dos figuras que coinciden son iguales entre sí.
• El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Los postulados son:

• Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
• Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta.
• Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por ese lado.

Otra forma equivalente, más conocida de expresar el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella" Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son:

• Playfair: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una.
• Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita.
• Legendre: Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.
• Saccheri y Laplace: Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro.
• Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo.
• Gauss[1]: Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k.
• Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
• Entre otros.

Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas, sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros días. También se le atribuyen otras obras como "Óptica", "Datos" "Sobre las divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría esférica) y "Elementos de la Música".

Euclides

Biografía

Euclides (en griego ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Eukleides) es un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC) Escribió los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:

Retrato de Euclides en una estampilla

• La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones posibles son las que corresponden a los números enteros: 0, 1, 2 y 3.

Geometría

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

Geometría algorítmica:

Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.

Geometría analítica:

Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.

Geometría del espacio:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.

Geometría descriptiva:

Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.

Geometría plana:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

Geometría proyectiva:

Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Reseña histórica ................... (geometría)

Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes históricos que nos permita tener una visión general de su desarrollo. Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que el río Nílo, al desbordarse, borraba las señales que limitaban los terrenos de los agricultores. Según reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II (1300 A. C.) la tierra del valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando éste a su vez a un supervisor que medía la parte en que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo que quedaba, en proporción a impuesto que se había fijado.

Precisamente, la palabra Geometría significa «medición de tierra».  Afirma Herodíto que habiéndose originado la geometría en Egipto, país después a Grecia.  Hay evidencias históricas, también, de aplicaciones,  geométricas, algunos miles de años antes de nuestra era en regiones tales como Mesopotamia, (comprendida entre los ríos Tígris y Eufrates) y algunas regiones del centro, sur y este de Asia, en las cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de edificios y sistemas de canalización y drenaje.

 Los babilonios (Mesopotamia), habían desarrollado la aritmética a muy buen nivel, permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y mercantiles. Conocían reglas (2000 - 1600 A. C.) para calcular el área de triángulos, rectángulos, trapezoides, volumen de paralelepípedos rectangulares, volumen de prisma recto, volumen de cilindro circular recto, del área del círculo (con aproximación 71= 3). Hay vestigios de que en esa época era también conocido el teorema de Pitágoras. La geometría babilónica y egipcia, como podemos apreciar era eminentemente práctica. Se le utilizaba para

Introducción (geometría)

La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:

• Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.
• Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que ninguna fracción puede definir", etc.

Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.

Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.

Precisamente, el valor estético de la construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.

La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.

• La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).
• La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.
• La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
• La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.