Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas

En 1697 el italiano Giolamo Saccheri[2] abrió un gran campo de posibilidades para la resolución del problema sobre el quinto postulado. Se podría decir que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de su trabajo radica en la suposición de que el quinto postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una contradicción.

FIGURA 1: El Cuadrilátero de Saccheri

  Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el ángulo ADC es igual al ángulo BCD. Se hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos? Supuso que no:

Hipótesis del ángulo obtuso: ADC y BCD son mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).

Hipótesis del ángulo agudo: ADC y BCD son menores que un recto (menores que 90º).

         De la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo deducir que ADC y BCD son
ángulos rectos, con lo que se llegó a una contradicción. De la hipótesis 2 obtuvo muchos teoremas y propiedades de una geometría no-euclidiana que se consolidará unos pocos años después, pero sin saber lo que estaba haciendo realmente. Continuó hasta llegar al siguiente teorema: "Dado cualquier punto A y una recta b, con la hipótesis del ángulo agudo existe en el haz (familia) de rectas que pasan por A dos rectas p y q que dividen el haz en dos partes. La primera de ellas consiste en las líneas que intersecan a b y la segunda la forman las líneas (que forman un ángulo α) que tienen una perpendicular común con b en algún sitio a lo largo de b. Las rectas p y q son asintóticas a b".

FIGURA 2: Las rectas de Saccheri

De este resultado y una cadena de razonamientos muy extensa demostró que p y b tendrían una perpendicular común en su punto común, que está en el infinito. ¡Otra vez nos encontramos con el infinito! Saccheri afirmó que este descubrimiento era totalmente descabellado y, aun sin llegar a una contradicción, lo rechazó decidiendo que la hipótesis del ángulo agudo era falsa.

         Así, sólo quedaba suponer que ADC y BCD son ángulos rectos. Saccheri ya había demostrado que, en este caso, la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º, y esto implica la veracidad del quinto postulado.

         Nuestro matemático italiano quedó sumamente satisfecho de su logro, pero Klügel (1739-1812) observó en su disertación de 1763 que los resultados de Saccheri no conducían a una contradicción sino a resultados que parecían estar en contraposición con la experiencia. Esto motivó a Lambert (1728-1777) a considerar un cuadrilátero con tres ángulos rectos y estudiar la posibilidad de que el cuarto fuera agudo u obtuso. Dedujo que la hipótesis del ángulo obtuso originaba propiedades como las que se obtenían para figuras sobre una esfera si se prescindía del absurdo que provocaba con respecto al quinto postulado, y conjeturó que los teoremas que se deducían bajo la hipótesis del ángulo agudo se verificaban en figuras sobre una esfera de radio imaginario. Este descubrimiento afirmaba que cualquier conjunto de hipótesis que no conducía a contradicciones nos ofrecía una geometría posible.

         F. K. Schweikart (1780-1859), influido por los trabajos de Saccheri y Lambert, hizo una distinción clara entre dos geometrías: la de Euclides y aquella en la que se verificaba que la suma de los ángulos de un triángulo es distinta a 180º. A esta última la llamó astral porque cabía la posibilidad de que se cumpliera en el espacio de las estrellas.

         F. A. Taurinus (1794-1874), un sobrino de Schweikart y seguidor de sus avances en esta materia, demostró la conjetura de Lambert acerca de la hipótesis del ángulo agudo. Afirmaba que únicamente la geometría euclidiana podía ser verdadera para el espacio físico (incluyendo, por tanto, el de las estrellas) pero que la geometría astral era "lógicamente consistente" (en el sentido de que no llevaba a ninguna contradicción).

         Con la obra de Lambert, Schweikart y Taurinus el mundo matemático se convenció de que el quinto postulado de Euclides no se podía demostrar a partir del resto de los axiomas, es decir, que es independiente. Además, cabe subrayar que también se demostró que bajo hipótesis contradictorias se pueden deducir geometrías tan consistentes como la de Euclides. Llegados a este punto deberíamos reparar en la problemática que subyace en todos los descubrimientos de este periodo determinado de la historia de las matemáticas. ¿Es posible modelizar el espacio físico con cualquiera de estas geometrías? La evidencia de que la geometría euclídea era perfectamente compatible reinaba en el pensamiento de la época pero también la consistencia de todas aquellas geometrías que se originan a partir de hipótesis contrarias a nuestra protagonista: al axioma de las paralelas.

FIGURA 3: Resumen de las hipótesis de las geometrías

         Que las geometrías sobre la esfera no respondían a las propiedades del mundo físico pese a su carácter no contradictorio seguía siendo una creencia bastante arraigada en el seno de la Matemática, que todavía era euclidiana. El propio D'Alembert llamó al problema del axioma de las paralelas "el escándalo de los elementos de la Geometría".

         La primera persona que realmente llegó a comprender este problema fue Gauss (1777-1855). Comenzó su trabajo con tan solo 15 años y en 1813 todavía no había conseguido grandes progresos, aunque seguía empeñado en reducir el axioma de los restantes. Escribió: "En la teoría de las paralelas ni siquiera ahora estamos mucho más lejos que Euclides. Ésta es una parte vergonzosa de las matemáticas...".

         En 1813 desarrolló una nueva geometría. La llamó geometría antieuclídea, más adelante geometría astral y finalmente la bautizó geometría no euclídea. En 1817 Gauss se había convencido de que el quinto postulado era independiente y estudió las consecuencias que se pudieran derivar de su geometría, a saber, aquella en la que se puede trazar más de una línea paralela a una recta dada y que pasa por un punto exterior a ésta. Llegó a la conclusión de que era perfectamente aplicable al espacio físico.

         Todavía es un misterio el hecho de que Gauss no publicara sus descubrimientos, aunque en una de sus cartas llegó a decir que se debía a un miedo a ser malinterpretado. Quienes sí publicaron toda la construcción de esta nueva geometría fueron Lobatchevsky (1793-1856) y Janos Bolyai[3] (1802-1860), hijo de W. F. Bolyai. En el siguiente apartado hablaremos únicamente de la solución propuesta por Lobatchevsky, puesto que la de Bolyai es totalmente análoga.