Geometría de Lobatchevsky

Biografía

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre los fundamentos de la geometría en el año 1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai, se ignoró hasta aproximadamente 30 años después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en 1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se verificaban parte de las propiedades de la geometría de Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la euclídea.

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Lobatchevsky, como la mayoría de sus contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta geometría, al puro estilo de Saccheri.

         La esencia de la solución de este problema la expuso él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría (1835): "Es bien sabido que, en geometría, la teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes físicas, solamente pueden ser verificados mediante experimentos, tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin de la verdad de mi conjetura y considerando que este difícil problema está completamente resuelto, expuse mis argumentos en 1826".

         Comenzó sus investigaciones suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una, sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y desarrolló una geometría totalmente concebible que no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado como sigue: “El postulado no puede ser probado”.

Obra

Añadiendo a las proposiciones básicas de la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad de los resultados de cualquier geometría lógicamente concebible debe ser desarrollada no sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como una teoría que abra nuevos caminos y métodos para las teorías físicas.

         Uno de los resultados más sorprendentes es el siguiente:

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y q que forman la frontera entre las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas las rectas paralelas. El ángulo π (a) se llama ángulo de paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas que pasan por C.

         También llegó a establecer la trigonometría no euclidiana, resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Mostró identidades trigonométricas para triángulos que se mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida que el triángulo se hacía más pequeño las identidades tendían hacia las identidades trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no sólo construyó una geometría plena sino que redujo a la geometría euclídea a un caso límite y, por tanto, particular.

         Todo el trabajo de Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible, no se podía aplicar al mundo físico, por lo que esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y deducción matemática sin ninguna trascendencia ni real ni social.