CONJETURAS Y PRUEBAS EN MATEMÁTICAS

3. TRABAJANDO CON CONJETURAS Y TRATANDO DE PROBARLAS
Conjetura: Todo cubo es diferencia de dos cuadrados.
Proposición 1. La suma de los impares consecutivos empezando en 1 es un cuadrado.

ESTUDIO DE LOS INDICIOS

1+ 3 = 22 = 4

1+ 3 +5 = 32 = 9

1+ 3 +5 +7 = 42 = 16

1+ 3 +5 +7 +9 = 52 = 25

1+ 3 +5 +7 +9 +11 = 62 = 36

1+ 3 +5 +7 +9 +11+13 = 72 = 49

................................

Demostraciones:
a) Por la suma de las progresiones aritméticas
S = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 2n–1

S = 2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + 2n-7 + · · · + 1

2S = 2n + 2n + 2n + 2n + + 2n = n · 2n = 2n²
Luego S = n².
b) Más elegante era la demostración geométrica griega que la realizaban interpretando las orlas de un cuadrado

Observacion de Nicómaco de Gerasa (Siglo I) sobre las sumas parciales de los números impares:
 

1+ 3 +5 +7 + 9 + 11+ 13 +15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + ···

1       8              27                        64                                     125

¿Es casualidad o se deja de cumplir para valores grandes?
Si la observación