Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas

En 1697 el italiano Giolamo Saccheri[2] abrió un gran campo de posibilidades para la resolución del problema sobre el quinto postulado. Se podría decir que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de su trabajo radica en la suposición de que el quinto postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una contradicción.

FIGURA 1: El Cuadrilátero de Saccheri

  Con la FIGURA 1, Saccheri prueba que el ángulo ADC es igual al ángulo BCD. Se hizo la siguiente pregunta: ¿son ángulos rectos? Supuso que no:

Hipótesis del ángulo obtuso: ADC y BCD son mayores que un recto (es decir, mayores que 90º).

Hipótesis del ángulo agudo: ADC y BCD son menores que un recto (menores que 90º).

         De la hipótesis 1 y del resto de los axiomas pudo deducir que ADC y BCD son

Los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.

Durante el reinado del faraón helenista Tolomeo I Soter (323-285 a. C.) quien, deseando modernizar los tratados de geometría existentes, encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa. El resultado fue los "Elementos", en trece volúmenes, a los que posteriormente se añadieron dos más, atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto a Euclides si no hay una manera más simple de aprender Geometría que estudiar los "Elementos", a lo que el autor respondió " No existe un camino real hacia la Geometría".

Al comienzo de cada uno de los libros que componen los Elementos, Euclides presenta unas definiciones y unas Nociones Comunes relativas a los temas desarrollados.

Tomos de los Elementos

• El libro I de los "Elementos" trata sobre rectas paralelas, perpendiculares, y las propiedades de los lados y ángulos de los triángulos.
• El II desarrolla el álgebra geométrica.
• El III estudia las propiedades del círculo y de la circunferencia.
• El IV los polígonos inscritos y circunscritos.
• El V la teoría de las proporciones de Eudoxio.
• En el VI aplica dicha teoría a la semejanza de triángulos y otros problemas. Los libros VII, VIII. IX y X están dedicados a la aritmética.
• El XI estudia la perpendicularidad y el paralelismo de rectas y planos, ángulos diedros y poliedros, etc.
• El XII aplica el método exhaustivo de Eudoxio a diversos problemas geométricos, como la equivalencia de pirámides y la semejanza de conos y cilindros.
• El XIII estudia los poliedros regulares.

La obra de Euclides no es totalmente original, pues muchos de sus libros están basados en geómetras anteriores. Sin embargo, sistematizó todos los conocimientos de su época, ordenó las enseñanzas a su manera y demostró los teoremas requeridos por su nueva ordenación lógica, basada en el método axiomático; todo se deduce a partir de cinco axiomas y cinco postulados, cuya verdad se considera evidente.  

Los axiomas son:

• Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
• Si cantidades iguales se suman a cantidades iguales, las sumas son iguales.
• Si cantidades iguales se restan de cantidades iguales, las diferencias son iguales.
• Dos figuras que coinciden son iguales entre sí.
• El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

Los postulados son:

• Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
• Todo segmento puede extenderse indefinidamente en línea recta.
• Un círculo puede tener cualquier centro y cualquier radio.
• Todos los ángulos rectos son iguales.
• Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por ese lado.

Otra forma equivalente, más conocida de expresar el quinto postulado es: "Por un punto exterior a una recta no puede trazarse más que una paralela a ella" Algunas proposiciones equivalentes al postulado de las paralelas (postulado 5) son:

• Playfair: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y sólo una.
• Proclo: Dos rectas paralelas están entre si a una distancia finita.
• Legendre: Existe un triángulo en el cual la suma de sus tres ángulos vale dos rectos.
• Saccheri y Laplace: Existen dos triángulos no congruentes, con los ángulos de uno respectivamente iguales a los del otro.
• Legendre y Lorente: Por un punto cualquiera interior a un ángulo menor que dos tercios de rectos pasa una recta que corta a ambos lados del ángulo.
• Gauss[1]: Si k es un entero cualquiera, siempre existe un triángulo cuya área es mayor que k.
• Bolilla: Por tres puntos no alineados pasa siempre una circunferencia.
• Entre otros.

Durante mucho tiempo, los geómetras lucharon por demostrarlo a partir de los otros cuatro y de los cinco axiomas, sin conseguirlo. A partir del siglo XIX surgieron nuevas geometrías no euclidianas que niegan este postulado y lo sustituyen por otros diferentes. Los "Elementos" de Euclides tuvieron una influencia enorme sobre los matemáticos árabes y occidentales, prácticamente hasta nuestros días. También se le atribuyen otras obras como "Óptica", "Datos" "Sobre las divisiones" "Fenómenos" (sobre Geometría esférica) y "Elementos de la Música".

Euclides

Biografía

Euclides (en griego ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ, Eukleides) es un matemático griego, que vivió alrededor del año 300 a.C, ~(325 adC) - (265 adC) Escribió los Elementos, una de las obras más conocidas de la literatura mundial. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Los teoremas que nos enseña Euclides son los que generalmente aprendemos en la escuela. Por citar algunos de los más conocidos:

Retrato de Euclides en una estampilla

• La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento, por ejemplo en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea círculos y combinaciones de círculos. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene ancho, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene ancho, por lo que tiene dimensión dos. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres. De hecho, en la geometría euclidiana las únicas dimensiones posibles son las que corresponden a los números enteros: 0, 1, 2 y 3.

Geometría

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

En el ámbito de las matemáticas, se distinguen varias clases de geometría:

Geometría algorítmica:

Aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la extensión.

Geometría analítica:

Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.

Geometría del espacio:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.

Geometría descriptiva:

Parte de las matemáticas que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.

Geometría plana:

Parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.

Geometría proyectiva:

Rama de la geometría que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Reseña histórica ................... (geometría)

Es importante, antes de emprender un estudio de la geometría Euclidiana, revisar algunos antecedentes históricos que nos permita tener una visión general de su desarrollo. Tanto Proclos, como Herodoto, consignan en sus escritos que la geometría tuvo sus orígenes en Egipto con la medición de áreas, ya que el río Nílo, al desbordarse, borraba las señales que limitaban los terrenos de los agricultores. Según reseña el historiador Herodoto, en tiempos de Ramses II (1300 A. C.) la tierra del valle del Nilo se distribuía en terrenos rectangulares iguales por los cuales se debía pagar un impuesto anual, pero cuando el río invadía los terrenos, el agricultor tenía que avisar al rey lo sucedido, enviando éste a su vez a un supervisor que medía la parte en que se había reducido el terreno para que pagara sobre lo que quedaba, en proporción a impuesto que se había fijado.

Precisamente, la palabra Geometría significa «medición de tierra».  Afirma Herodíto que habiéndose originado la geometría en Egipto, país después a Grecia.  Hay evidencias históricas, también, de aplicaciones,  geométricas, algunos miles de años antes de nuestra era en regiones tales como Mesopotamia, (comprendida entre los ríos Tígris y Eufrates) y algunas regiones del centro, sur y este de Asia, en las cuales se desarrollaron grandes obras de ingeniería en la construcción de edificios y sistemas de canalización y drenaje.

 Los babilonios (Mesopotamia), habían desarrollado la aritmética a muy buen nivel, permitiéndoles hacer cálculos astronómicos y mercantiles. Conocían reglas (2000 - 1600 A. C.) para calcular el área de triángulos, rectángulos, trapezoides, volumen de paralelepípedos rectangulares, volumen de prisma recto, volumen de cilindro circular recto, del área del círculo (con aproximación 71= 3). Hay vestigios de que en esa época era también conocido el teorema de Pitágoras. La geometría babilónica y egipcia, como podemos apreciar era eminentemente práctica. Se le utilizaba para

Introducción (geometría)

La geometría fue, primero, la ciencia de la medida de las extensiones (geo = tierra; metrón = medida). Lo que se aprendió a medir (con los geómetras griegos) fue la extensión de una línea, recta o curva; de una superficie limitada por líneas y de un volumen limitado por superficies. Pero rápidamente la expresión medir adquirió entre los griegos un sentido muy general de "establecer relaciones". Estas relaciones eran de dos clases:

• Relaciones de posición que se enuncian por proposiciones tales como " La recta D es paralela a la recta D’", " la recta D es tangente al círculo C", etc.
• Relaciones métricas, tales como "el segmento AB es triple del segmento AC", "la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número que ninguna fracción puede definir", etc.

Para establecer estas relaciones tan numerosas y variadas, los geómetras de la antigüedad pusieron a punto un método que se convertiría más adelante en el método matemático por excelencia: la demostración.

Todo el arte de los geómetras griegos consistió en reunir un conjunto importante de teoremas enlazados mediante largas cadenas de razones - como dijo Descartes- a algunos principios primeros. Este "corpus" es la geometría euclidiana.

Precisamente, el valor estético de la construcción euclídea y la trascendencia intelectual de su programa consiste en haberse propuesto eslabonar el conjunto de axiomas, definiciones y razonamientos con arte y perfección. En vez del confuso montón de intuiciones y demostraciones de los geómetras anteriores, Euclides seleccionaba unos pocos conceptos fundamentales y unas pocas relaciones entre estos conceptos, enunciadas explícitamente, para, desde aquí, pasar a la creación de nuevos conceptos y al descubrimiento de nuevas relaciones entre ellos.

La geometría de Euclides, la geometría de Descartes, la geometría de Riemann o la de Lovachevski, etc., son unas teorías deductivas. Los entes de los cuales tratan se llaman figuras y podemos dar de ellas diversas imágenes que nos permiten comunicar con nuestros semejantes. Estas imágenes pueden ser símbolos figurativos, ecuaciones, etc.

• La Geometría no euclídea: Geometría para la que no es válido el axioma de paralelismo de Euclides (quinto postulados de Euclides).
• La Geometría hiperbólica: Geometría no euclídea en la cual el postulado de las paralelas se sustituye por otro según el cual desde un punto exterior a una recta se pueden trazar al menos dos paralelas a ella, las cuales separan a todas las rectas que pasan por el punto en dos clases. Una, la de las que cortan a la recta dada y otra, la de las que no tienen puntos comunes con esa recta.
• La Geometría elíptica: Geometría no euclídea en la cual el quinto se sustituye por otro el cual desde un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna recta paralela a ella.
• La Geometría proyectiva: Geometría cuyos objetos son los espacios proyectivos y sus aplicaciones propias, las proyectividades.