Propiedades de los Exponentes, Radicales y Logaritmos

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
Las funciones exponenciales (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
§ Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)
§
§
§
§ su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞
Propiedad Enunciado Ejemplos
Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero. 4⁰ = 1, 10⁰ =1


Un exponente negativo es el recíproco de la potencia positiva.

b^m bⁿ = b^n+m
En el producto con bases iguales se suman los exponentes. 2² 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32
(^- 5)² (^- 5)( ^- 5)³ =(^- 5) ⁶ = 16625
(b^m )ⁿ = b^{n m}
Una base con doble exponente; se multiplican los exponentes. (3³)² = 3 ^{3 x 2} = 3⁶ = 729
(^-3³)² = (^-3)^{3 x 2} = (^-3)⁶ = 729
(ab)ⁿ = aⁿ bⁿ
Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente. (7x)² = 7²x ² = 49x²
(^-4y²)³ = (^-4³ y^{2 x 3}) = ^-64y⁶

En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.


Un cociente elevado a un exponente; cada término se eleva a ese exponente.


Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo.


Un cociente donde cada término tiene exponente negativo es el recíproco positivo de cada término.

Propiedades de los radicales

Producto de radicales
Radicales del mismo índice


Radicales de distinto índice
Primero se
reducen a índice común y luego se multiplican.

Cociente de radicales


Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.

Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.


Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .

2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .

3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Identidades logarítmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:
§ El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

§ El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

§ El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

§ El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:




Fuente
http://bc.inter.edu/
http://www.vitutor.net/2/4/radicales.html
http://es.wikipedia.org