CARGAS ELÉCTRICAS EN REPOSO (6)

6. Una ecuación para el potencial

Junto al concepto de potencial electrostático, es posible obtener, a partir de las magnitudes físicas implicadas en su definición, una expresión para la diferencia de potencial primero y para el potencial después. En el caso de que el campo debido a una carga puntual Q, la deducción de la ecuación potencial V en un punto genérico p sería como sigue.
Sean o y p dos puntos del espacio que rodea a la carga Q, y ro y rp las distancias respectivas a dicha carga tomada como origen de referencia. El trabajo necesario para trasladar una carga q desde o a p corresponde a una fuerza variable con la distancia, pero puede descomponerse el trayecto en tramos lo suficientemente cortos como para considerar que en ellos la fuerza es constante; en tal caso:W_O^P= W_O²+W₂³+...+W_n^p

donde los sumandos representan esos trabajos elementales.
De acuerdo con la definición de trabajo W = F · r y recordando que en este caso la fuerza F es la
electrostática entre Q y q, se podrá escribir, recurriendo a la ley de Coulomb, la expresión:

donde r2 puede ser tomado como el producto r1 · ro, lo que equivale a considerar r como la media geométrica de las distancias extremas. Admitiendo esta aproximación resulta:


En donde los términos intermedios contenidos entre el corchete se cancelan dos a dos, pues son iguales y de signo opuesto, resultando para el trabajo total:

Este trabajo, realizado por las fuerzas del campo, supondrá una disminución de la energía potencial de la carga q, de modo que se cumplirá la ecuación

de la diferencia de potencial entre o y p:

Si o se considera situado en el infinito respecto de la carga Q, la diferencia de potencial de cualquier otro punto respecto del infinito resultará:

Si por convenio se considera que el potencial V en el infinito es cero (lo que, además, parece razonable, pues la fuerza también se hace cero a esa distancia) resulta la expresión:

que representa el potencial electrostático del campo debido a la carga puntual Q en un punto que dista r de dicha carga.


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