24/7/12

Contando conjuntos infinitos


Hoy vamos a hablar hoy de cómo podemos clasificar los conjuntos de acuerdo a la cantidad de elementos que contienen. Este artículo se me ha ocurrido gracias al chico al que le doy clases particulares, Kike, a quien, tras explicarle que entre dos números enteros cualesquiera se hallan infinitos racionales (propiedad de los números racionales), y sabiendo que hay infinitos números enteros, él me preguntó -con mucho ingenio, he de confesar- si, del mismo modo, era posible que todos esos infinitos enteros estuviesen entre un cierto par de otra clase de números más importantes. Esto no es así, porque de serlo se violaría uno de los Axiomas de Peano, pero enseguida me di cuenta de que, para poder explicar la respuesta, primero hace falta entender que hay clases distintas de infinitos.

Distinguimos entre tres clases de conjuntos según su cantidad de elementos. Realmente, su clasificación técnica atiende a una teoría a la que con nuestros conocimientos no tenemos acceso (clasificación por álefs), así que los explicaremos: conjuntos finitos, conjuntos infinitos numerables y conjuntos infinitos no numerables.

Los conjuntos finitos carecen de interés más allá de sus propiedadesintrínsecas, y el modo de contarlos es el por todos conocido: a cada elemento le asignamos un número natural, comenzando desde el uno, y usando los siguientes, por orden, hasta que hayamos mencionado a todos los elementos del conjunto (y, aunque esto suene a perogrullada, es digno de mención).

Ejemplos: los conjuntos {1,2,3} y {5,7,9} tienen 3 elementos. El conjunto de posibles manos en una partida de póquer tiene 2.598.690 elementos.

Los conjuntos infinitos numerables son aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos pero que, aún habiéndolos, se pueden poner en orden para poder contarlos. Los conjuntos numerables tienen la propiedad de que se puede establecer una biyección entre sus elementos y el conjunto de los números naturales. Una biyección es un sistema de correspondencias unívocas entre dos conjuntos; más cercanamente, estamos diciendo que si nuestro conjunto es numerable, a cada uno de sus elementos le corresponde un número natural, y sólo uno. El propio conjunto de los números naturales es, por definición, infinito numerable, pues trivialmente se puede establecer una biyección consigo mismo. Veamos un par de ejemplos más interesantes:

El conjunto de los números enteros es numerable. A simple vista pudiera parecer que hay el doble de números enteros que de naturales, pero esta suposición carece de sentido en un contexto infinito, puesto que 2·∞ = ∞. No obstante, es interesante observar cómo debe uno ordenar a los números enteros para asignarles su posición respecto de los naturales:

Si procedemos por tamaño: ... -3,-2,-1,0,1,2,3,... no vamos muy lejos, pues apenas disponemos de un primero que poner al frente de la lista. En cambio, si procedemos como sigue, en seguida se ve clara la relación: (entero -> natural que le hacemos corresponder)

0 -> 1, 1 -> 2, -1 -> 3, 2 -> 4, -2 -> 5, 3 -> 6, ...

Ésto no es nada más que poner a los positivos y a los negativos en filas de éste modo:

1, 2, 3, 4, 5, ...

-1, -2, -3, -4, -5, ...

Ambas filas son infinitas, pero las columnas no lo son, constando cada una de dos elementos nada más; de manera que podemos contar los enteros contando los elementos de cada columna de un modo ordenado.

Y así, si seguimos contando eternamente, nos damos cuenta de que hay tantos enteros como naturales, puesto que por muchos enteros que escribamos, siempre hallaremos un natural al que hacerle correspondencia.

Por si fuera poco sorprendente que los enteros sean numerables, resulta que los racionales también lo son. Como en el caso anterior, todo consiste en saber ordenarlos: primero, los escribiremos en forma de pareja de números, tal que así: (numerador, denominador). Luego, y para ahorrar tiempo y escritura, contaremos los positivos, entendiendo que repitiendo la argucia usada en los enteros se pueden incluir los negativos. Veámoslo:

(1,1) -> 1, (1,2) -> 2, (2,1) -> 3, (1,3) -> 4, (2,2) -> 5, (3,1) -> 6, (1,4) -> 7,...

Clarifiquemos con este esquema, distribuyéndolos de un modo
bidimensional:

(1,1), (1,2), (1,3), ...

(2,1), (2,2), (2,3), ...

(3,1), (3,2), (3,3), ...
...

Como se ve, tanto la filas como las columnas son infinitas, y por ahí no podemos contar; pero, en cambio, las diagonales de arriba-derecha a abajo-izquierda son finitas, permitiéndonos ver que hay tantos racionales como naturales. Además, hay que recordar que algunos símbolos representan al mismo número (ej. (2,2) = (1,1); (1,2) = (2,4)) por lo que, según vamos contando, hay que descartar algunas parejas, dando más consistencia a la numerabilidad de los números racionales.

Finalmente, hablemos de los conjuntos infinitos no numerables. Los conjuntos no numerables (los denominamos así a secas, puesto que no numerable implica infinito) son aquellos cuyos elementos no pueden ser ordenados de modo alguno para poder establecer una biyección con los números naturales. Los números reales son un conjunto no numerable, puesto que la irrupción de los irracionales, con sus infinitas cifras decimales no periódicas, impiden colocarlos de algún modo que permita escribirlos todos sin dejarse algunos por en medio. Es curioso el hecho de que, puesto que los reales están constituidos por los racionales más los irracionales, y los racionales son numerables; resulte que haya una cantidad no numerable de números irracionales. De modo que, en realidad, hay más números, muchos más, irracionales que racionales, cuando uno podría pensar que se reparten equitativamente.

Y mucho más que eso: para los que sepáis un poco más, es fácil contar los irracionales algebraicos (que son aquéllos que son solución de alguna ecuación polinómica) colocándolos de un modo similar a los racionales, pero en tres dimensiones y escribiéndolos en coordenadas del modo (numerador, denominador, índice de la raíz). Si lo escriben en casa, verán que hay truplas finitas de números irracionales algebráicos, permitiendo contarlos. De tal modo que, realmente, los números que hacen no numerable al conjunto de los reales son los números trascendentes, aquéllos que, como PI ó e, no son solución de ninguna ecuación polinómica y que a todos nos traen de cabeza.

Y hasta aquí el tema de hoy. La idea con la que deberían quedarse, desde un punto de vista filosófico o, si lo prefieren, semántico, es que infinitos no quiere decir todos.

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