Obtención del término general de la sucesión de Fibonacci desde el número de oro

Este post esta dedicado para un chavo de nuestros lectores que a través de la pagina de Facebook nos pidió este tema. Las operaciones que se realizaran son simplemente algebraicos. Espero que les guste y gracias por la espera.

Usando el número áureo es posible deducir una fórmula que permite obtener el término general de la sucesión, para todo valor n. Esto hace posible que se pueda calcular un término cualquiera de la sucesión de Fibonacci sin necesidad de calcular todos los términos anteriores. La fórmula que nos facilita esto es la expresión de Binet-Moivre:Demostración:

De ser , si multiplicamos toda la expresión por , es decir, satisface la sucesión de Fibonacci.

Análogamente la sección áurea,

y como son del mismo signo los términos se tendrá: 

y, multiplicando ahora toda la expresión por:

Razón de oro

 Este post es para que mas adelante podamos entender una propiedad la sucesión de Fibonacci, hablaremos de un numero muy interesante.
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi)
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.

La idea

Si divides una línea en dos partes de manera que:
la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
entonces tienes la razón de oro.

De hecho el valor exacto es:

1,61803398874989484820... (continúa sin repetirse)
Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número irracional, y hablaremos sobre eso más adelante.

Calcularlo

Puedes calcularlo tú mismo empezando por