Obtención del término general de la sucesión de Fibonacci desde el número de oro

Este post esta dedicado para un chavo de nuestros lectores que a través de la pagina de Facebook nos pidió este tema. Las operaciones que se realizaran son simplemente algebraicos. Espero que les guste y gracias por la espera.

Usando el número áureo es posible deducir una fórmula que permite obtener el término general de la sucesión, para todo valor n. Esto hace posible que se pueda calcular un término cualquiera de la sucesión de Fibonacci sin necesidad de calcular todos los términos anteriores. La fórmula que nos facilita esto es la expresión de Binet-Moivre:Demostración:

De ser , si multiplicamos toda la expresión por , es decir, satisface la sucesión de Fibonacci.

Análogamente la sección áurea,

y como son del mismo signo los términos se tendrá: 

y, multiplicando ahora toda la expresión por:
, o, en definitiva,

con lo que también satisface la sucesión de Fibonacci.

Esto nos permite expresar los términos de la sucesión en la forma  ,

eligiendo los coeficientes a y b de forma que se verifiquen las condiciones de definición de la sucesión de Fibonacci:

1) , o sea:

2) , es decir: a + b = 0

3) que nos dice:

El valor de los coeficientes a y b se obtienen de inmediato: b = −a → , de donde:

lo que nos da finalmente:

 

Fuentes:

- Huntley, H.E.; The divine proportion, Dover Publications, Inc., 1970, Nueva York

- http://casanchi.com/