El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi)Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.
La idea
Si divides una línea en dos partes de manera que: 
la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
entonces tienes la razón de oro.
De hecho el valor exacto es:
1,61803398874989484820... (continúa sin repetirse) Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número irracional, y hablaremos sobre eso más adelante.
Calcularlo
Puedes calcularlo tú mismo empezando porcualquier número y siguiendo estos pasos:
- A) divide 1 entre tu número (1/número)
- B) suma 1
- C) ese es tu nuevo número, empieza otra vez desde A
| Número | 1/número | Suma 1 |
| 4 | 0.25 | 1.25 |
| 1.25 | 0.8 | 1.8 |
| 1.8 | 0.55555556 | 1.5555556 |
| 1.5555556 | 0.64285714 | 1.6428571 |
| 1.6428571 | 0.60869565 | 1.6086957 |
| 1.6086957 | 0.62162162 | 1.6216216 |
| 1.6216216 | 0.61666667 | 1.6166667 |
| 1.6166667 | 0.6185567 | 1.6185567 |
El más irracional...
La razón de oro es el número más irracional. Este es el porqué...Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede escribir en términos de sí mismo, así:
(con números: 1,61803... = 1 + 1/1,61803...)
Esto se puede expandir en una fracción que no se acaba nunca (llamada"fracción continua"):
El término cuadrático se puede considerar como un producto,
, y después despejar φ. Resultado: 
.Si ahora sustituimos la φ del denominador por su valor, que es la suma, y repetimos el proceso indefinidamente, obtendremos la fracción continua que puedes ver.
Si despejamos el término cuadrático y tomamos raíces cuadradas tenemos:
.Si ahora sustituimos la φ del radicando por su valor, que es la raíz completa, y repetimos el proceso indefinidamente, obtendremos la fórmula de arriba.
Cálculo del valor del número áureo
Algebraico
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple: 
Hay una manera de dibujar un rectángulo con la razón de oro:
- Dibuja un cuadrado (de lado "1")
- Pon un punto en la mitad de un lado
- Dibuja una línea desde ese punto a una esquina contraria (medirá √5/2)
- Gira esa línea hasta que vaya en la dirección del lado del cuadrado
La fórmula
Mirando el rectángulo que acabamos de dibujar, puedes ver que tiene una fórmula sencilla. Si un lado mide 1, el otro lado mide:
Propiedades
- Es el único número real positivo tal que:
- Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
- El caso más simple es:
, cualquiera sea n un número entero.
- Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
Fuentes:
http://es.wikipedia.org/wiki/N
http://www.disfrutalasmatematicas.com
http://www.epsilones.com/
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