Dirac xδ

BOLYAI, Janos (1802-1860): Matemático húngaro nacido en Kolozsvar y fallecido en Marosvásárheli, ambas en Hungría. Su padre había sido gran amigo de Gauss, llegando incluso a intentar demostrar el quinto axioma de Euclides. En 1825 ponía en práctica los mismos proyectos que Lovachevski sobre la geometría no euclideana, publicando en 1831 un apéndice en un libro de su padre sobre matemáticas. En él explicó su geometría, que Lovachevski había publicado tres años antes.

SACCHERI, Giovanni Girolamo (1667-1733): Nació y murió en San Remo, Génova (ahora Italia). Se unió a la Orden de los Jesuitas en 1865. Cinco años después marchó a Milán, donde estudió filosofía y teología en el Colegio Jesuita. Allí, Tommaso Ceva le animó a estudiar matemáticas. En 1694 fue ordenado sacerdote y se dedicó a enseñar en colegios jesuitas. Fue catedrático de matemáticas en Pavia desde 1699 hasta su muerte

Esquema de la evolución de la Geometría no Euclidianas

Conclusión ..............(Geometría)

Gracias a la realización de este trabajo pudimos comprender un poco mejor lo que es la geometría Euclídea; las repercusiones que ésta tuvo en pensamiento del mundo antiguo.

Además de conocer las diferencias que existen entre los distintos tipos de geometría, y de los pensadores responsables de sus fundaciones, es muy interesante reconocer y estudiar estas diferencias, ya que nos muestran las diversas formas de pensamiento de la mente humana.

El estudio formal de la geometría euclidiana y de las demás geometrías nos permite organizarlas de forma tal que podemos conocer y entender sus estructuras conceptuales, facilitando así su estudio futuro.

El estudio de los Elementos de Euclides es muy importante ya que es la recopilación de todos sus pensamientos e ideales, además de contar con todos sus axiomas, postulados y teoremas, los cuales son de gran utilidad para entender y poder aplicar su concepto de geometría.

Estructura conceptual de la Geometría.

El significado Real de la Geometría de Lobatchevsky

Eugenio Beltrami

Biografía

En 1868 el italiano Eugenio Beltrami publicó Ensayo sobre la interpretación de la Geometría no euclídea, que proporcionó un modelo para la geometría no-euclidiana de Lobatchevsky dentro de la geometría euclídea 3-dimensional.

Fotografía de Beltrami

Obra

Consideró una curva llamada tractriz (ver FIGURA 5). Una de las propiedades de esta curva es que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante. El eje OY es una asíntota. Al girar la curva alrededor de su asíntota se engendra una superficie llamada seudoesfera, representada en la parte derecha de la FIGURA 5.

FIGURA 5: Tractriz y seudoesfera

Beltrami hizo notar que la geometría intrínseca de la seudoesfera coincide con la geometría sobre parte del plano de Lobatchevsky. De este modo, esta geometría no euclidiana tiene un perfecto significado real: no es más que una exposición abstracta de la geometría sobre la seudoesfera.

Pero, como hemos mencionado con anterioridad, Beltrami sólo estableció una correspondencia entre la seudoesfera y parte del plano de Lobatchevsky. El problema de dar

1/8/11

Geometría de Lobatchevsky

Biografía

Nikolai Ivanovich Lobatchevsky estudió en la Universidad de Kazan. Publicó por primera vez su teoría sobre el axioma de las paralelas en su obra Sobre los fundamentos de la geometría en el año 1829-1830, pero no fue plenamente aceptada hasta muchos años después. Su trabajo, tanto como el de Bolyai, se ignoró hasta aproximadamente 30 años después. El tema atrajo la atención gracias a que el nombre de Gauss proporcionó peso a las ideas cuando se hizo pública su correspondencia en 1855 después de su muerte. Fue en 1868 cuando Beltrami (1835-1900) obtuvo un modelo real donde se verificaban parte de las propiedades de la geometría de Lobatchevsky y la colocó en el mismo lugar que la euclídea.

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Lobatchevsky, como la mayoría de sus contemporáneos, intentó deducir el quinto postulado de Euclides a partir de los restantes axiomas de esta geometría, al puro estilo de Saccheri.

La esencia de la solución de este problema la expuso él mismo en su obra Nuevos elementos de Geometría (1835): "Es bien sabido que, en geometría, la teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los tiempos de Euclides a lo largo de dos mil años me han inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes físicas, solamente pueden ser verificados mediante experimentos, tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin de la verdad de mi conjetura y considerando que este difícil problema está completamente resuelto, expuse mis argumentos en 1826".

Comenzó sus investigaciones suponiendo que por un punto exterior a una recta no pasa una, sino al menos dos rectas paralelas a la recta dada y desarrolló una geometría totalmente concebible que no lleva a contradicción alguna. Se puede resumir la solución de Lobatchevsky al problema del quinto postulado como sigue: “El postulado no puede ser probado”.

Obra

Añadiendo a las proposiciones básicas de la geometría el axioma opuesto se puede desarrollar una geometría extensa y lógicamente perfecta. La verdad de los resultados de cualquier geometría lógicamente concebible debe ser desarrollada no sólo como un esquema lógico arbitrario, sino como una teoría que abra nuevos caminos y métodos para las teorías físicas.

Uno de los resultados más sorprendentes es el siguiente:

FIGURA 4: Las rectas de Lobatchevsky

Dada una recta AB y un punto C (ver FIGURA 4) todas las rectas que pasan por C caen dentro de dos clases respecto a AB, a saber: la clase de las rectas que cortan a AB y la clase de las que no lo hacen. A la última pertenecen las dos rectas p y q que forman la frontera entre las dos clases. Estas dos líneas fronteras son llamadas las rectas paralelas. El ángulo π (a) se llama ángulo de paralelismo. Las otras rectas que no son paralelas y que pasan por C y las que no cortan a AB son llamadas rectas que no intersecan, aunque en el sentido de Euclides éstas son paralelas a AB y así, en este sentido, la geometría de Lobatchevsky contiene un número infinito de paralelas que pasan por C.

También llegó a establecer la trigonometría no euclidiana, resolución de triángulos y cálculo de áreas y volúmenes. Mostró identidades trigonométricas para triángulos que se mantenían en su geometría, advirtiendo que a medida que el triángulo se hacía más pequeño las identidades tendían hacia las identidades trigonométricas usuales. Con esto y una cadena de razonamientos y deducciones verdaderamente sorprendentes no sólo construyó una geometría plena sino que redujo a la geometría euclídea a un caso límite y, por tanto, particular.

Todo el trabajo de Lobatchevsky, Bolyai y Gauss y su concepción acerca de estas nuevas teorías revolucionó los fundamentos de la Matemática. Aunque fuera lógicamente concebible, no se podía aplicar al mundo físico, por lo que esta nueva geometría se vio relegada a puro juego y deducción matemática sin ninguna trascendencia ni real ni social.

24/7/11

Reseña Histórica de la Evolución de las Geometrías no Euclideanas

En 1697 el italiano Giolamo Saccheri[2] abrió un gran campo de posibilidades para la resolución del problema sobre el quinto postulado. Se podría decir que dio el pistoletazo de salida en una carrera con muchos obstáculos pero con una meta abrumadora. La importancia de su trabajo radica en la suposición de que el quinto postulado de Euclides es falso e intentar llegar a una contradicción.