Relación entre el triángulo de Pascal y la sucesión de Fibonacci

Hoy una vez más hablare sobre otra curiosidad de la serie de Fibonacci. En esta ocasión solo mostraré la relación que tiene con el triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia), el mismo que da los coeficientes en la expansión de un binomio. 

En principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. La sucesión de Fibonacci aparece en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma: 

Cada uno de los términos de la sucesión de Fibonacci se obtienen, como luego se comprobaría, sumando las diagonales del Triangulo de Tartaglia, tal como indicamos en la figura:

Es decir,

Obtención del número de oro desde la sucesión de Fibonacci:

Hemos estado abordando algunas curiosidades de la sucesión de Fibonacci, en el post anterior abordamos como obtener el termino general de esta serie a partir del numero de oro, ahora haremos lo opuesto obtendremos el numero de oro desde la sucesión de Fibonacci.

Es necesario mencionar que en todas las ocasiones que mencione el limite se referirá al que por cuestiones practicas no coloque.

El cociente de dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, f_{n +1}/f_n , se aproxima al número de oro cuando el orden de los términos crece indefinidamente:

Demostración: 

Por construcción de la sucesión es f_n=f_n−1+f_n−2. Dividiendo ambos miembros por f_{n −1} será:   

 

Llamando    , se tiene:, o sea, , ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es

Luego se verifica que 

Fuentes:

- Huntley, H.E.; The divine proportion, Dover Publications, Inc., 1970, Nueva York

- http://casanchi.com/

Obtención del término general de la sucesión de Fibonacci desde el número de oro

Este post esta dedicado para un chavo de nuestros lectores que a través de la pagina de Facebook nos pidió este tema. Las operaciones que se realizaran son simplemente algebraicos. Espero que les guste y gracias por la espera.

Usando el número áureo es posible deducir una fórmula que permite obtener el término general de la sucesión, para todo valor n. Esto hace posible que se pueda calcular un término cualquiera de la sucesión de Fibonacci sin necesidad de calcular todos los términos anteriores. La fórmula que nos facilita esto es la expresión de Binet-Moivre:Demostración:

De ser , si multiplicamos toda la expresión por , es decir, satisface la sucesión de Fibonacci.

Análogamente la sección áurea,

y como son del mismo signo los términos se tendrá: 

y, multiplicando ahora toda la expresión por:

Razón de oro

 Este post es para que mas adelante podamos entender una propiedad la sucesión de Fibonacci, hablaremos de un numero muy interesante.
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi)
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.

La idea

Si divides una línea en dos partes de manera que:
la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
entonces tienes la razón de oro.

De hecho el valor exacto es:

1,61803398874989484820... (continúa sin repetirse)
Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número irracional, y hablaremos sobre eso más adelante.

Calcularlo

Puedes calcularlo tú mismo empezando por

Si hay pobreza ¿Por qué no fabricamos más dinero?

Éste post lo escribo en especial para una persona que me dijo lo siguiente "Si hay pobreza ¿Por qué no fabricamos más dinero?", a mi parecer una pregunta muy interesante. El razonamiento en principio parece lógico, puesto que si la gente no tiene dinero, al estado no le costaría mucho imprimir unos cuantos billetes para entregarle a cada persona, lo que supondría una solución a la pobreza.

El problema es que la economía no funciona así. La solución a la pobreza es mucho más complicada que “soplar y hacer billetes”.

También sucede que mucha gente tiene la idea errónea de que la cantidad de dinero que circula en un país esta respaldada por la cantidad de oro que posee. Sin embargo, esto simplemente no es cierto – cualquier país puede imprimir tanto dinero como desee – y no necesita de ninguna cantidad de oro para respaldarlo.

Se considera que el valor del dinero debería

ALCANOS

Estructura electrónica del Carbono.
El átomo de carbono posee un total de seis electrones, los que están dispuestos en diferentes orbitales atómicos, como se muestra en el diagrama de energías:

Diagrama Nº1

Los alcanos y la hibridación sp³.
Cuando el átomo de carbono va a formar parte de una molécula utilizando su saturación máxima, uno de los electrones del orbital atómico 2s, salta al orbital 2pz que está vacío. Este salto tiene por supuesto un costo en energía, el cual es compensado sobradamente con la energía que es liberada al formar el enlace entre uno de estos nuevos orbitales híbridos sp³ del carbono y el orbital del otro átomo. Por ejemplo C-C o C-H. Así, todos los orbitales del nivel 2 quedan con un electrón cada uno. Y en ese momento al combinarse entre sí, dan origen a cuatro orbitales híbridos.

Diagrama Nº2
Estos 4 orbitales sp³ tienen un electrón cada uno, son equivalentes en

La muerte del universo

En los confines del espacio existe una violenta batalla entre dos fuerzas que pueden destruir el universo átomo por átomo: la materia oscura y la energía oscura. Distintos astrónomos presentan sus teorías respecto al desenlace final de esta lucha apocalíptica.

En este especial de National Geographic, nos hablará del posible fin del Universo, y dará tres posibles finales del Universo. El primero de ellos es el Big Crunch (gran implosión) en la que el Universo sería atraído a su plataforma de lanzamiento, o sea, volvería a su estado original produciéndose la gran implosión. También está el big rip o el gran desgarramiento, esa aceleración infinita del universo derivará en un desgarramiento del tejido del universo defragmentándose en partículas hasta desintegrarse completamente. Las grandes fuerzas del Universo como la materia y energía oscura y los agujeros negros derivan posiblemente a unas de estas teorías del fin del universo.

Y una tercera teoría del fin del Universo, sería el gran enfriamiento, en la que se expandería infinitamente el universo, hasta que los grupos de galaxias se separen cada vez más y quecada estrella se separe más aún, llegaría un momento que el universo se enfriaría dando lugar al gran enfriamiento u oscurecimiento, por lo que quizá la materia oscura ganaría terreno en este proceso.

Actualmente se conoce el big brounce, el gran rebote que daría con un universo eterno o infinito, y daría al traste estas tres teorías posibles del universo.

Yo personalmente me inclino al la del gran enfriamiento porque es la que predice la segunda ley de la termodinamica